Могу ли я подать на фирму в суд, если отказывают в выплатах по производственной травме?

Добрый день. Да, вы смело можете подавать в суд.

В соответствии со ст. 67 ТК РФ, трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, — не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.

Таким образом, вы трудоустроены официально, и имеете все основания для выплаты по больничному листу.