Какие сотрудники и из каких правоохранительных органов могут проверять разрешение на травматику?

 Контроль осуществляют как полиция в лице практически любого сотрудника, а также другие органы причем осматривать и само оружие, а значит и боеприпасы согласно ст.13 ФЗ О полиции:

22) проверять места хранения, торговли, коллекционирования и экспонирования оружия, основных частей огнестрельного оружия, если имеются данные, дающие основания подозревать граждан в совершении преступления, либо имеется повод к возбуждению дела об административном правонарушении; проверять у граждан документы, подтверждающие законность владения (использования) ими гражданским или служебным оружием;

Федеральный закон от 13.12.1996 N 150-ФЗ (ред. от 03.08.2018) «Об оружии»Статья 28. Контроль за оборотом оружия
 

Контроль за оборотом гражданского и служебного оружия на территории Российской Федерации осуществляют федеральный орган исполнительной власти, уполномоченный в сфере оборота оружия, или его территориальный орган и органы, уполномоченные Правительством Российской Федерации выдавать лицензии на производство гражданского и служебного оружия, а также уполномоченные органы государственного контроля (надзора) за соблюдением обязательных требований к гражданскому и служебному оружию, установленных в соответствии с законодательством Российской Федерации о техническом регулировании и законодательством Российской Федерации о стандартизации.
(в ред. Федеральных законов от 05.04.2016 N 104-ФЗ, от 03.07.2016 N 227-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

Контроль за оборотом оружия, имеющегося на вооружении государственных военизированных организаций, осуществляется в порядке, определяемом Правительством Российской Федерации.
Должностные лица органов, уполномоченных осуществлять контроль за оборотом гражданского и служебного оружия, имеют право:
производить осмотр оружия в местах его производства, торговли им, его хранения и уничтожения;